Estás en el camino correcto. La forma de hacerlo es con server blocks (también llamados virtual hosts en Apache). La buena práctica no es tocar el nginx.conf principal.
En su lugar, creas un archivo de configuración por cada sitio en el directorio /etc/nginx/sites-available/. Por ejemplo, dominio1.com.conf. Y luego creas un enlace simbólico a ese archivo en /etc/nginx/sites-enabled/. Esto te permite "activar" y "desactivar" sitios fácilmente.