No es una duda tonta, es el concepto más importante de Docker. Lo que necesitas son volúmenes.
Un contenedor es efímero, pero un volumen es un "disco duro" gestionado por Docker que sobrevive aunque borres el contenedor. Tienes que "mapear" un volumen a la carpeta donde la base de datos guarda sus datos.
La forma más fácil es con un "volumen nombrado". Al hacer docker run, añade esta bandera:
-v postgres_data:/var/lib/postgresql/dataDocker creará un volumen llamado postgres_data y lo montará en la ruta correcta dentro del contenedor. La próxima vez que levantes un contenedor usando ese mismo volumen, tus datos estarán ahí.
